Порядок расчёта
После построения глобальной матрицы жёсткости с учётом опирания конструкции (неподвижное, подвижное или упругая посадка в узлах или вдоль линий, упругое основание) и расчёта правых сторон по нагружению, полученную систему уравнений решаем по методу Холецкого разложением на верхнюю и нижнюю треугольную матрицу. (МКЭ дает симметричную и ленточную систему линейных уравнений). Из первичных значений неизвестных wz, φx и φy в узлах рассчитываем внутренние силы mx, my, mxy, vx и vy и производные величины m1, m2, а также значения реакций в опорах.
2D-элементы
Качество результатов расчёта пластин по методу КЭ в существенной мере зависит от выбора типа элементов. В программе был выбран деформирующий вариант МКЭ с треугольными и четырёхугольными элементами, обозначенными DKMT и DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle a Quadrilateral) .
Формулировка элементов основана на дискретной теории изгиба тонких пластин Кирхгофа, которую можно рассматривать как частный случай теории толстых пластин Миндлина, основанной на следующих допущениях:
- сжатие пластины по направлению z пренебрежимо по сравнению с абсолютным значением перемещения Wz
- элементы, нормальные к серединной плоскости пластины, после деформирования остаются прямыми но не обязательно нормальными к деформированной серединной плоскости пластины
- нормальные напряжения σz малы по сравнению с напряжениями σx, σy
Элементы DKMT и DKMQ обладают 9 и 12 степенями свободы соответственно, - в каждом узле работают три независимые переменные:
Wz | - | упругий прогиб по направлению оси z |
φx | - | поворот вокруг оси x |
φy | - | поворот вокруг оси y |
Элементы удовлетворяют следующим критериям :
- матрица жёсткости имеет правильный ранг (не возникают деформирующие состояния нулевой энергии)
- удовлетворяют так наз. патч-тесту
- подходят для расчёта тонких и толстых пластин
- обладают хорошими свойствами конвергенции
- не сложны в расчёте
При хорошо сгенерированной сетке можно предпочесть четырёхугольные элементы, свойства которых в общем показывают себя лучше, чем треугольные.
1D-элементы
Пластину можно укрепить балками, для которых внедрён одномерный решётчатый элемент с перемещениями Wz, φx , φy и результирующими внутренними усилиями M1, M2 , V3 (торсионный, изгибающий моменты и поперечная сила), совместимый с пластинчатыми элементами (подробно см. литературу). Балка характеризована моментами инерции It, I2 (кручение, изгиб), площадью A и поверхностью скольжения As. Эти параметры сечения программа может вычислить по типу сечения из его геометрических размеров. В расчёте для балок создаются локальные матрицы жёсткости 6x6 , которые войдут в глобальную матрицу жёсткости конструкции.
Литература:
I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part I: An extended DKT element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1859-1883 (1993).
I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1885-1908 (1993).
Z. Bittnar, J. Sejnoha, Numericke metody mechaniky, CVUT, Praha, 1992.